रसायन विज्ञान

रियल फूरियर श्रृंखला

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रियल फूरियर सीरीज - परिचय

निम्नलिखित पृष्ठों का विषय, मोटे तौर पर, प्रारंभिक रूप से वास्तविक-मूल्यवान, आवधिक कार्य का विकास है एफ पहले एक वास्तविक चर से टी (हम चर को से निरूपित करते हैं टी, चूंकि यह अक्सर अनुप्रयोगों में समय होगा) कोसाइन और साइन कार्यों के अनुसार, अधिक सटीक रूप से प्रतिनिधित्व एफ एक श्रृंखला के रूप में

एफ(टी)=120+एन=1एनक्योंकिएनमैंटीमैं+बीएनपापएनमैंटीमैं,

तथाकथित फूरियर श्रृंखला एफ, निरंतर गुणांक के साथ 0,1,2,,बी1,बी2,. मैं की अवधि का आधा है एफ. अनिवार्य रूप से दो संभावित स्थितियां हैं: या तो एफ दिया जाता है और कोई गुणांक के बारे में पूछता है, या गुणांक दिए जाते हैं और एफ उनसे बनाया गया है। पूर्व को फूरियर विश्लेषण कहा जाता है, बाद वाला फूरियर संश्लेषण। बाकी रास्ते के लिए, कुछ गणितीय तैयारी आवश्यक है। हम आवर्त फलन की अवधारणा से शुरू करते हैं। एक वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन एफ एक वास्तविक चर टी आवधिक कहा जाता है यदि यह एक सकारात्मक संख्या है टी के साथ देता है

एफ(टी)=एफ(टी+टी)सबके लिएटीमैं,

इस मामले में कहा जाता है टीइस अवधि से एफ. साथ में टी भी कोई संख्या है αटीαमैं, इस अवधि से एफइसलिए स्पष्ट रूप से परिभाषित नहीं किया गया है। के बजाए "एफ आवधिक है और इसकी अवधि है टी"हम भी छोटा कहते हैं"एफ है टी-समय-समय पर"। हम आमतौर पर अवधि लिखते हैं टी जैसा टी=2मैं और आधी अवधि के साथ काम करें मैं (जैसा कि पहले ही ऊपर किया जा चुका है) व्यावहारिक कारणों से। आइए अब हम एक ठोस, वास्तविक चीज़ के बारे में सोचें मैं>0 दिया गया है और हम उन सभी पर विचार करते हैं मैं-आवधिक कार्य। इसमें विशेष रूप से शामिल हैं

क्योंकि0मैंटीमैं,क्योंकि1मैंटीमैं,क्योंकि2मैंटीमैं,क्योंकि3मैंटीमैं,

तथा

पाप1मैंटीमैं,पाप2मैंटीमैं,पाप3मैंटीमैं,

अपने आप को यह विश्वास दिलाना आसान है कि ये सभी कार्य वास्तव में 2 . हैंमैं-आवधिक। (समारोह क्यों पाप(0मैंटी/मैं), जो निश्चित रूप से लगातार 0 के बराबर है, सूची में गायब है, अपने लिए सोचना आसान है। क्योंकि(0मैंटी/मैं) निश्चित रूप से 1 के बराबर है।) (चित्रमय प्रतिनिधित्व।) वे एक उत्कृष्ट भूमिका निभाते हैं, जैसा कि हम बाद में देखेंगे। इसके सबसे महत्वपूर्ण गुणों में निम्नलिखित तथाकथित ऑर्थोगोनैलिटी संबंध शामिल हैं: किसी के लिए भी एममैं0 तथा एनमैं0 उपयुक्त है:

-मैं+मैंक्योंकिएममैंटीमैंपापएनमैंटीमैंडीटी=0

किसी के लिए एम,एनमैं0 उपयुक्त है:

-मैं+मैंक्योंकिएममैंटीमैंक्योंकिएनमैंटीमैंडीटी=0 अगर एमएनमैं अगर एम=एन>02मैं अगर एम=एन=0

किसी के लिए एम,एनमैं आख़िरकार:

-मैं+मैंपापएममैंटीमैंपापएनमैंटीमैंडीटी=0अगर एमएनमैंअगरएम=एन

(रूढ़िवादी संबंध - प्रमाण)। उन्हें कुछ अधिक सामान्य ढांचे में वर्गीकृत किया जा सकता है, जो उनके पदनाम को ऑर्थोगोनैलिटी संबंधों के रूप में वास्तव में समझने योग्य बनाता है, लेकिन यहां उनकी चर्चा करना आवश्यक नहीं है। चूंकि क्योंकि(0मैंटी/मैं)=1 लीड या केस एम=0 सरलीकृत बयानों के लिए: किसी के लिए एनमैं उपयुक्त है

-मैं+मैंपापएनमैंटीमैंडीटी=0

या: किसी के लिए एनमैं0 उपयुक्त है

-मैं+मैंक्योंकिएनमैंटीमैंडीटी=0 अगर एन>02मैंअगरएन=0

आगे बढ़ने के लिए। हम पहले फूरियर विश्लेषण और फिर संश्लेषण से निपटेंगे (हालाँकि दोनों को एक दूसरे से पूरी तरह से अलग नहीं किया जा सकता है)। फूरियर विश्लेषण प्रश्न के बारे में है: आप किसी दिए गए फ़ंक्शन के साथ कैसे प्राप्त करते हैं? एफ गुणांक एन तथा बीएन? उत्तर में फूरियर श्रृंखला के अभिसरण की धारणा (एक निश्चित प्रकार की) पर व्युत्पन्न उनकी गणना के लिए कुछ सूत्र शामिल होंगे एफ. यदि इस आवश्यकता को समाप्त कर दिया जाता है, तब भी सूत्रों का उपयोग किया जा सकता है; फूरियर श्रृंखला, यानी समीकरण के दाहिने हाथ को औपचारिक रूप से बिना यह स्पष्ट किए बनाया जा सकता है कि क्या और किस अर्थ में यह विरोध करता हैएफ अभिसरण करता है। एक और सवाल उठता है, अर्थात्: फूरियर श्रृंखला कब और किस अर्थ में बनी है एफ? समीकरण के दाहिने हाथ से हम प्रत्येक के लिए पा सकते हैंएनमैं एक वास्तविक मूल्यवान फ़ंक्शन एफएन से टी द्वारा प्रपत्र:

एफएनटी=120+एन=1एनएनक्योंकिएनमैंटीमैं+बीएनपापएनमैंटीमैं

एक परिणाम बनाना एफ1,एफ2,एफ3, कार्यों का। यदि फूरियर सिद्धांत अभिसरण के बारे में है, तो अंत में यह हमेशा इस (या समान) अनुक्रम के अभिसरण के बारे में होता है, जिससे अभिसरण की विभिन्न अवधारणाएं एक भूमिका निभाती हैं।


वीडियो: फरयर शरखल परचय (जुलाई 2022).


टिप्पणियाँ:

  1. Terence

    इसमें भी कुछ बेहतरीन है विचार, आपसे सहमत।

  2. Dennie

    मैं यह अनुमति नहीं दूंगा कि आप से सहमत नहीं होंगे

  3. Vijin

    मैं आपके अनुरोध का जवाब देता हूं - समस्या नहीं।

  4. Muhsin

    वास्तव में आप सही हैं



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